在(a,a-f(a)/k)上用拉格朗日中值定理
即存在η∈(a,a-f(a)/k)
使得f'(η)=[f(a-f(a)/k)-f(a)]/(a-f(a)/k-a)
=[f(a-f(a)/k)-f(a)]/(-f(a)/k)
又f'(η)＞k
所以[f(a-f(a)/k)-f(a)]/(-f(a)/k)＞k
因为(-f(a)/k)＞0
所以f(a-f(a)/k)-f(a)＞-f(a)即f(a-f(a)/k)＞0
又已知f(a)＜0且f'(x)＞k＞0
根据零值存在定理知
f(x)=0在(a,a-f(a)/k)内有唯一实根