把以上数列化简为公比为2/3和1/3的两个等比数列,就很容易了:
1/3+3/3^2+7/3^3+15/3^4+...+(2^N-1)/3^N
=(2-1)/3+(2^2-1)/3^2+(2^3-1)/3^3+...+(2^N-1)/3^N
=2/3+(2/3)^2+(2/3)^3+...+(2/3)^N-(1/3+1/3^2+1/3^3+...+1/3^N)
代入等比数列的求和公式S=A1*(1-Q^N)/(1-Q),得
S=S1-S2=2/3*(1-2^N/3^N)/(1-2/3)-1/3*(1-1/3^N)/(1-1/3)
当N趋向于无穷大时
S=2-1/2=3/2