由题设知:
(1) f(x)=-f(-x)
(2) g(x)=g(-x)
(3) 当x0时, g(x) = g(-x) = -f(-x) = f(x)... (5)
由(1),(2)知
不等式f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)等价於
f(b)+f(a) > g(a) - g(b)(*)
考虑以下各种情况:
(i)设a,b>=0
则由(5)知g(a)=f(a), g(b)=f(b)
代入(*)得f(b)+f(a) > f(a)-f(b)
化简得 f(b) > - f(b)
f(b)>0. 没有矛盾出现.
(ii)设 a>=0, b f(a)+f(b), 矛盾!
(iii)设 a0, 与f(x)在R上为增函数矛盾 (因为f是奇函数, 所以必然在x=0).
(iv) 设a=0
则由(4),(5)知 g(a)=-f(a), g(b)=f(b).
代入(*)得 f(b)+f(a)> -f(a)-f(b)
化简得 f(a)+f(b)>0
或 f(b)>f(-a). 由於f是增函数, 所以 b> -a, 即a+b>0.
综上所述, 只有(i)(iv)是可能的情况. 具体地说,
b一定>=0.
而a要么>=0, 要么 > -b. 但后者是更弱的要求, 于是可知
b>=0, a>-b.