如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点P从点B开始沿BC边以每秒1cm的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA_数学解答

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点P从点B开始沿BC边以每秒1cm的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2 cm的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P，Q分别从B，C两点同时出发，当点Q

运动到点A时，点Q、p停止运动，设它们运动的时间为x cm．
（1）当x=______秒时，射线DE经过点C；
（2）当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为ycm²，求y与x的函数关系式（不用写出自变量取值范围）；
（3）当点Q运动时，是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

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解答

（1）x=2；
当DE经过点C时，∵DE⊥PQ，PD=QD，
∴PC=CQ，PC=6-x，CQ=2x，
即6-x=2x，得x=2，
∴当x=2时，当DE经过点C；
（2）分别过点Q、A作QN⊥BC，AM⊥BC垂足为M、N．
∵AB=AC=5cm，BC=6cm，
∴AM＝

52−32

＝4（cm），
∵QN∥AM，
∴△QNC∽△AMC，
∴

＝

，即

＝

，
∴QN＝

x，
又PC=6-x，
∴S_△PCQ=

PC•QN=

(6−x)•

x，
∴y=S_△ABC-S_△PCQ=

×6×4-

(6−x)•

x，
即y＝

x2−

x+12；

（3）存在．
理由如下：
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥AC时△PQC∽△PDE
此时，△PQC∽△AMC
∴

＝

即

＝

6−x

∴x＝

．