已知函数f(x)=ln(1/2+ax/2)+x-ax (a为常数,a>0)
——————求完整过程—————— (1)若x=1/2是函数f(x)的一个极值点,求a的值.a=2 (2)求证:当0<a≤2时,f(x)在[1/2,+∞)上是增函数.(3)若对任意的a∈(1,2),总存在x0∈[1,2],使不等式f(x0)>m(1-a)成立,求实数m的取值范围.m≥1/4).
人气:103 ℃ 时间:2019-08-18 16:34:27
解答
(1):因为f(x)=ln(1/2+ax/2)+x-ax 所以f‘(x)=a/(ax+1)+2x-a f’(1/2)=0 解之得 a=2 (2)当0<a≤2时,f(x)在[1/2,+∞)时 因为f‘(x)=a/(ax+1)+2x-a=(2ax^2+2x+a-a^2x-a)/ax+1=x(2ax+2-a^2)/ax+1 又因为x>1/2>0 ax+1>0 :2ax+2-a^2在[1/2,+∞)单增,x=1/2时a+2-a^2在0<a≤2上恒大于0 所以f‘(x)在当0<a≤2时,f(x)在[1/2,+∞)时大于0,即是增函数 (3)f(x)在[1/2,+∞)上是增函数,所以x0∈[1,2],使f(x0)>m(1-a)只需使f(1/2)>m(1-a) ( ln(1/2+x/4)+1/4-1/2a)>m(1-a) 令f(a)= ( ln(1/2+x/4)+1/4-1/2a)/(1-a) f(a)在(1,2)上为减函数,所以 f(a) > f(2)=1/4 要是m
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