AB均为实对称矩阵,且AB=BA,如果A有n个互异的特征值,证明,存在正交矩阵P使P'AP与P'BP均为对角阵
人气:310 ℃ 时间:2020-03-19 05:29:20
解答
假定你所说的“AB均为实对称矩阵”其实是“A和B均为实对称矩阵”
先取正交阵P使得P'AP=D是对角阵
令C=P‘BP,由条件知DC=CD,把每个元素都写出来,再利用D的对角元两两不同即得C是对角阵
事实上即使去掉“A有n个互异的特征值”这个条件结论仍然是成立的,只不过是证明还要多加一步而已A和B均为实对称矩阵,如果去掉条件:A有n个互异的特征值要怎么证明呢?取正交阵Q使得Q‘AQ=D,且D的对角元按大小次序排列,把相同的特征值放到一起构成一个块然后C=Q’BQ,比较一下DC=CD得到C是块对角阵,然后再把每个对角块进一步对角化即可
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