区间是0-1:∫X/e^X+e^(1-X)Dx
区间是0-1:∫X/[e^X+e^(1-X)]Dx
原题是这样子的 我漏了一个括号~
人气:180 ℃ 时间:2020-01-31 21:36:46
解答
分开来积分∫X/e^XDX+∫e^(1-X)DX,第一个先看(x/e^x)'=1/e^x-x/e^x,两边积分就有∫x/e^xdx=-(x+1)/e^x.(定积分啥的就不考虑C了)另一个比较好积分,积出来就是-e^(1-x),那合起来就是F(x)=-(x+1)/e^x-e^(1-x),然后牛...区间是0-1:∫X/[e^X+e^(1-X)]Dx 原题是这样子的 我漏了一个括号~原来是这样啊,题目难了好多,但并不是不能解决。仔细观察,易得f(x)+f(1-x)=1/[e^x+e^(1-x)]而如果两边积分∫f(x)dx+∫f(1-x)dx=∫1/[e^x+e^(1-x)]dx右边容易积分,换元t=e^x,得∫1/(t^2+e)dt,再提出1/e,得(1/e)*∫1/[(t/√e)^2+1]dt,得到∫1/(t^2+e)dt=(1/√e)*arctan(t/√e)。(当然也可以查积分表)至于左边。令∫f(x)dx=F(x),观察F‘(1-x)=-f(1-x)两边积分得∫f(1-x)=-F(1-x)这里我们约定一下f(x) | [0,1],代表着f(1)-f(0),于书上表示法有点不同(电脑打不出)那根据上面得到的∫f(x)dx+∫f(1-x)dx=∫1/[e^x+e^(1-x)]dx带入我们上面求过的得F(x) | [0,1]-F(1-x) | [0,1]=(1/√e)*arctan(t/√e) | [1,e] (这边变量是t,区间就是[e^0,e^1])F(1)-F(0)-F(0)+F(1)=(1/√e)*arctan(t/√e) | [1,e] F(1)-F(0)={(1/√e)*arctan(t/√e) | [1,e] }/2区间[0,1]上的定积分∫x/[e^x+e^(1-x)]dx={(1/√e)*arctan(t/√e) | [1,e] }/2≈0.1457
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