第一次切下的尽可能大的正方体的棱长是12厘米，则体积为12³=1728（立方厘米）；
这时剩余立体底面形状如图（1），其高是12厘米．
这样第二次切下的尽可能大的正方体棱长为9厘米，其体积是9³=729（立方厘米）．
第二次切割后，剩下的立体可以看作是由两部分组成的：
一部分的底面形状如图（2），高为12厘米，另一部分底面形状如图3，高是3厘米．显然，第三次切下的尽可能大的正方体棱长为6厘米，其体积为6³=216（立方厘米）．
所以，剩下的体积为21×15×12-1728-729-216=1107（立方厘米）．
答：剩下部分的体积是1107立方厘米．