由题意得，y′=3x²+6x+6=3（x²+2x）+6
=3（x+1）²+3，
∴当x=-1时，y′=3x²+6x+6取最小值是3，
把x=1代入y=x³+3x²+6x+4得，y=14，即切点坐标是（1，14），
∴切线方程是：y-14=3（x-1），
即3x-y+3=0，
故答案为：3x-y+3=0．