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若对于任意非零实数m,不等式|2m-1|+|1-m|>|m|(|x-1|-|2x+3|)恒成立,则实数x的取值范围______.
人气:148 ℃ 时间:2019-08-21 20:56:52
解答
已知对于任意非零实数m,不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|(|x-1|-|2x+3|)恒成立,
即|x-1|-|2x+3|≤
|2m−1|+|1−m|
|m|
恒成立.
∵
|2m−1|+|1−m|
|m|
≥
|2m−1+1−m|
|m|
=1,所以只需|x-1|-|2x+3|≤1.
①当x≤-
3
2
时,原式1-x+2x+3≤1,即x≤-3,所以x≤-3
②当-
3
2
<x<1时,原式1-x-2x-3≤1,即x≥-1,所以-1≤x<1
③当x≥1时,原式x-1-2x-3≤1,即x≥-5,所以x≥1.
综上,x的取值范围为(-∞,-3]∪[-1,+∞).
故答案为(-∞,-3]∪[-1,+∞).
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