如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点E、D分别是AC、PC的中点,EP⊥底面ABC. 当K=1/2时,求直线PA与平面PBC所成角的余弦
人气:361 ℃ 时间:2020-09-01 05:51:40
解答
令BC的中点为F.利用赋值法,设AB=1,则:BC=1、PA=2.
∵PE⊥平面ABC,∴PE⊥AC,又E∈AC且AE=CE,∴PC=PA=2.
∵AB=BC=1、AB⊥BC,∴AC=√2,∴AE=√2/2,
∴PE=√(PA^2-AE^2)=√(4-1/2)=√7/√2.
∴S(△ABC)=(1/2)AB×BC=1/2,
∴V(P-ABC)=(1/3)S(△ABC)×PE=(1/3)×(1/2)×(√7/√2)=√14/12.
∵AB=BC、AB⊥BC、E∈AC且AE=CE,∴BE=CE.
∵PE⊥平面ABC,∴BE、CE分别是PB、PC在平面ABC上的射影,又BE=CE,∴PB=PC=2.
∵PB=PC=2、BC=1、F∈BC且BF=CF,∴BF=1/2、PF⊥BF,
∴PF=√(PB^2-BF^2)=√(4-1/4)=√15/2.
∴S(△PBC)=(1/2)BC×PF=(1/2)×1×(√15/2)=√15/4.
过A作AG⊥平面PBC交平面PBC于G.显然有:
V(A-PBC)=(1/3)S(△PBC)×AG=V(P-ABC)=√14/12,
∴(1/3)×(√15/4)AG=√14/12,∴AG=√14/√15,
∴sin∠APG=AG/PA=(√14/√15)/2=√7/√30,
∴cos∠APG=√[1-(sin∠APG)^2]=√(1-7/30)=√23/√30=√69/30.
∴直线PA与平面PBC所成角的余弦值为√69/30.
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