设：a_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…  +

1

2n+1

，
a_n+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…  +

1

2n+3

，
a_n+1-a_n=

1

2n+2

+

1

2n+3

−

1

n+1

＜0
所以{a_n}对于n为正整数时为单调递减数列，
使不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…  +

1

2n+1

＜a−2007

1

3

对一切正整数n都成立的最小正整数a的值，
就是n=1时，a＞2007

1

3

+

1

2

+

1

3

=2008+

1

6

成立的最小整数．即2009．
故答案为：2009．