书写规范一点.题目应该是这样吧：
a[n+1]=a[n]²+a[n],若a[1]=1/2,求证1＜1/(1+a[1])+1/(1+a[2])+……+1/(1+a[n])＜2
左边不成立,当n=1时就不成立,你题目看错了吧.下面证右边.
显然a[n]＞0,a[n+1]=a[n](a[n]+1),所以1/a[n+1]=1/[a[n](a[n]+1)]=1/a[n]-1/(a[n]+1)
所以1/(a[n]+1)=1/a[n]-1/a[n+1]
累和即得1/(1+a[1])+1/(1+a[2])+……+1/(1+a[n])=1/a[1]-1/a[n+1]＜1/a[1]=2
原不等式右边得证