连接AF、CG
∵BF：AF=1：3
∴设△BFH的面积=x，则△AFH的面积=3x
同理设△AHE的面积=y，则△CEH的面积=2y
由题意可得：△ABE的面积=4x+y=

1

3

△ACF的面积=3y+3x=

3

4

解二元一次方程组

4x+y= 1 3 3y+3x= 3 4

得：x=

1

36

即△BFH的面积=

1

36

设△AEG的面积=a，则△CEG的面积=2a，设△CDG的面积=b，则△BDG的面积=4b
由题意可得：△ACD的面积=3a+b=

1

5

△BCE的面积=5b+2a=

2

3

解二元一次方程组

3a+b= 1 5 5b+2a= 2 3

得：a=

1

39

∴四边形AFHG的面积=△ABE的面积-△BFH的面积-△AEG的面积
=

1

3

-

1

36

-

1

39

=

131

468

故答案为：

131

468

．