∵f（x）在R上是奇函数，
∴f（0）=0，即f（0）=1+k，
∴k=-1；
∴f（x）=a^x-a^-x，
又f（x）=a^x-a^-x是减函数，
∴f′（x）＜0，即a^xlna+a^-xlna=（a^x+a^-x）lna＜0，由于a^x+a^-x＞0，
∴lna＜0，
∴0＜a＜1．
∴a+k=a-1∈（-1，0）．
故答案为：（-1，0）．