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数学
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如图,直棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2.
(1)求证:AC⊥平面BB
1
C
1
C;
(2)在A
1
B
1
上是否存一点P,使得DP与平面BCB
1
与平面ACB
1
都平行?证明你的结论.
人气:263 ℃ 时间:2019-08-21 15:20:35
解答
证明:(1)直棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,BB
1
⊥平面ABCD,∴BB
1
⊥AC.(2分)
又∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2,
∴
AC=
2
,∠CAB=45°,∴
BC=
2
,∴BC⊥AC.(4分)
又BB
1
∩BC=B,BB
1
,BC⊂平面BB
1
C
1
C,∴AC⊥平面BB
1
C
1
C.(7分)
(2)存在点P,P为A
1
B
1
的中点.(8分)
证明:由P为A
1
B
1
的中点,有PB
1
‖AB,且PB
1
=
1
2
AB.(10分)
又∵DC‖AB,DC=
1
2
AB,∴DC∥PB
1
,且DC=PB
1
,
∴DCB
1
P为平行四边形,从而CB
1
∥DP.
又CB
1
⊂面ACB
1
,DP⊄面ACB
1
,∴DP‖面ACB
1
.(12分)
同理,DP‖面BCB
1
.(14分)
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