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数学
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已知函数f(x)=xln x.若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,则实数a的取值范围为______.
人气:139 ℃ 时间:2019-09-21 05:53:54
解答
∵f(x)=xlnx,
当x≥1时,f(x)≥ax-1恒成立⇔xlnx≥ax-1(x≥1)恒成立⇔a≤lnx+
1
x
(x≥1)恒成立,
令f(x)=lnx+
1
x
,则a≤f(x)
min
(x≥1)恒成立;
∵f′(x)=
1
x
-
1
x
2
=
x−1
x
2
,
∴当x≥1时,f′(x)≥0,
∴f(x)=lnx+
1
x
在[1,+∞)上单调递增,
∴f(x)
min
=1,
∴a≤1,即实数a的取值范围为(-∞,1].
故答案为:(-∞,1].
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