Lebesgue积分题若f是[a,b]上Lebesgue可积函数,证明：当n→∞时,∫（a→b）f(x)|sinnx|dx=2/π_数学解答

只需用连续函数逼近就可以了.
注意到对任意的连续函数g(x)有 lim 积分（从a到b）g(x)|sinnx|dx=2/pi *积分（从a到b）g(x)dx.
对任意的e>0,存在一个连续函数g(x),使得积分（从a到b）|f(x)--g(x)|dx对g(x),存在N,当n>N时,有|积分（从a到b）g(x)|sinnx|dx--2/pi*积分（从a到b）g(x)dx|当n>N时,有 |积分（从a到b）f(x)|sinnx|dx--2/pi*积分（从a到b）f(x)dx|
<=|积分（从a到b）f(x)|sinnx|dx--积分（从a到b）g(x)|sinnx|dx |
+|积分（从a到b）g(x)|sinnx|dx--2/p*积分（从a到b）g(x)dx |
+|2/p*积分（从a到b）g(x)dx--2/p*积分（从a到b）f(x)dx|
上式中第一第三两项均不超过积分（从a到b）|f(x)--g(x)|dx.