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已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且长分别为a,b,c,又(a2+b2)c=
6
,侧面PAB与底面ABC所成的角为60°,当三棱锥的体积最大时,则a的值为 ___ .
人气:386 ℃ 时间:2020-05-03 18:36:52
解答
如图,根据已知条件得:V=
1
6
abc
1
12
(a2+b2)c=
6
12
,当且仅当a=b时取“=”;
过P作底面ABC的垂线,垂足为O,连接CO并延长交AB于D;
∵PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P;
∴PC⊥平面PAB,AB⊂平面PAB;
∴PC⊥AB,即AB⊥PC;
又PO⊥底面ABC,AB⊂底面ABC;
∴PO⊥AB,即AB⊥PO,PC∩PO=P;
∴AB⊥平面PCO,CO⊂平面PCO;
∴AB⊥CO,即AB⊥CD,连接PD,∵AB⊥PO,AB⊥CD,CD∩PO=O;
∴AB⊥平面PCD,PD⊂平面PCD;
∴AB⊥PD,∴∠PDC是侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角,∴∠PDC=60°;
在Rt△PAB中,PA=PB=a,∴PD=
2
a
2

∴在Rt△PCD中,∠CPD=90°,∠PDC=60°,∴PC=c=PDtan60°=
2
a
2
•tan60°=
6
a
2

∴V=
1
6
abc=
6
a3
12
=
6
12
,∴a=1.
故答案为:1.
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