隐函数存在定理1的一些疑惑
设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数,且F(x0,y0)=0;Fy(x0,y0)≠0,则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内有恒定能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=F(x)(等价于FZ≠0),它满足条件y0=f(x0),并有 dy/dx=-Fx/Fy,这就是隐函数的求导公式.
如果将函数的条件改成函数F(X,Y)在点P(X0 Y0)可微 这个公式是否依然成立
人气:303 ℃ 时间:2020-03-13 15:33:18
解答
你是指F(x0,y0)=0;Fy(x0,y0)≠0两个条件保留?恩 对是这样:一元函数的“导数极限定理”(或导数的介值定理、Darboux 定理)应该可以推广到多元函数上(尽管相应的结论将不那么好描述而且不那么好用),这样可微函数的偏导函数的性态虽然不一定连续,但也不会差到不成样子。至于可微函数的偏导函数将会well-behave到什么程度,你可以去问问贵校专攻函数论和泛函分析的老师。那么,这个相对well-behave的偏导函数将很有希望给我们带来如下结论:Fy(x,y)在(x0,y0)的某个邻域同号。如果那样,这将对我们推出隐函数定理的结论是十分有利的,因为我们将可以直接对F用介值定理(固定x)解出y。进而不难得到y对x的连续性。然而不得不说,我们并没有一个完整的证明,也没有一个很好的反例(至少我手头这两样东西都没有)。因此,我无法给你一个确切的答案。如果想要对这个问题深入的了解(例如偏导函数well-behave的程度是否足以保证Fy(x,y)在(x0,y0)的某个邻域同号?是否足够然我们进一步解出y?能否保证解出的y对x连续?),请问贵校专攻函数论和泛函分析的老师。不过还要提醒一句:数学上并不是每个看似简单的问题都有答案,它们或许很难被解决,或许虽然很容易解决但没人愿意去解决。我要说这一点是因为在我印象中我曾向老师问过这个问题。你的这种思维方式不适合学习工科数学,倒适合学习理科数学。
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