A、电路闭合且电路中有电压，电路中才会有电流，将导体连入电路，电路中不一定有电流，故A错误；
B、导体电阻不随电流变化而变化，导体中通过的电流越大，表明导体两端电压越大，并不能说明导体电阻越小，故B错误；
C、由欧姆定律可以，导体两端电压越大，通过该导体的电流就越大，故C正确；
D、只要有电流流过灯泡，灯泡两端一定有电压，故D错误；
故选C．