当k=0时，函数y=log₃（kx+1）=0，则k=0不合题意；
当k≠0时，函数u=kx+1的值域可以是（0，+∞），即k≠0符合题意．
综上所得，实数k的取值范围是k≠0即（-∞，0）∪（0，+∞）．
故答案为：（-∞，0）∪（0，+∞）．