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二次函数f(x)同时满足下列三个条件:(1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值为15;(3)f(x)=0的两根的平方和等于32.求f(x)的解析式.
人气:250 ℃ 时间:2019-12-20 22:42:58
解答
由二次函数f(x)同时满足下列两个个条件:(1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值为15;
说明其对称轴为x=1,抛物线开口向下.
可设f(x)=a(x-1)
2
+15(a<0).
化为f(x)=ax
2
-2ax+a+15,
设f(x)=0的两个实数根为x
1
,x
2
.
∴x
1
+x
2
=2,x
1
x
2
=
a+15
a
.(*)
∵f(x)=0的两根的平方和等于32,∴
x
21
+
x
22
=32
.
化为
(
x
1
+
x
2
)
2
−2
x
1
x
2
=32.
把(*)代入上式得
2
2
−2×
a+15
a
=32,解得a=-1.
∴f(x)=-(x-1)
2
+15=-x
2
+2x+14.
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