A、如果电阻R断路，将电流表串联在电路中，电流表无示数，但灯L断路时，电流表也无示数．此选项不符合题意；
B、如果灯L断路，将电流表串联在电路中，电流表无示数，但电阻R断路时，电流表也无示数．此选项不符合题意；
C、如果电阻R短路，相当于一根导线，将电流表串联在电路中，电流表有示数，灯L应该发光，此选项不符合题意；
D、如果灯L短路，相当于一段导线，将电流表串联在电路中，电流表有示数，灯不亮．此选项符合题意；
故选D．