直线y=ex+b(e为自然对数的底数)与两个函数f(x)=ex,g(x)=lnx的图象至多有一个公共点,则实数b的取值范围是 ______.
人气:459 ℃ 时间:2020-03-20 09:14:54
解答
当y=ex+b与函数f(x)=ex有一个公共点时,转化为ex+b=ex只有一个根,令F(x)=ex-(ex+b),则其导函数为F/(x)=ex-e,所以F/(x)>0时x>1,F/(x)<0时x<1,则F(x)在x=1时取极小值F(1)=-b,所以当y=ex+b与函数f(x)=ex有一个公共点时须-b=0,即b=0.当y=ex+b与函数f(x)无公共点时须-b>0,即b<0.
同理可得y=ex+b与g(x)=lnx有一个公共点时,b=-2,当y=ex+b与函数g(x)=lnx无公共点时,b>-2.
故与f(x)=ex的图象有一个公共点,且与g(x)=lnx的图象没有公共点成立时b=0,
与g(x)=lnx的图象有一个公共点与f(x)=ex的图象没有公共点成立时b=-2,
与两个函数的图象都没有公共点成立时-2<b<0,
综上可知[-2,0]
故答案为:[-2,0]
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