根据题意：前n个自然数的和的个位、十位、百位三个数码都相同，
所以可设前n个自然数的和等于111a，其中a是自然数1～9中的一个；
则有1+2+3+…+（n-1）+n=n（n+1）÷2=111a=3×37×a，
所以n（n+1）=37×6a，1≤a≤9，
经验证，当a=6时，上式转化为n（n+1）=36×37，所以自然数n=36．
答：n=36时，前n个自然数的和是一个三位数，并且该三位数的各位、十位、百位三个数码都相同．