证明：tanx₁+tanx₂=

sinx1

cosx1

+

sinx2

cosx2

=

sinx1cosx2+cosx1sinx2

cosx1cosx2

=

sin(x1+x2)

cosx1cosx2

=

2sin(x1+x2)

cos(x1+x2)+cos(x1-x2)

∵x₁，x₂∈（0，

π

2

），x₁≠x₂，
∴2sin（x₁+x₂）＞0，cosx₁cosx₂＞0，且0＜cos（x₁-x₂）＜1，
从而有0＜cos（x₁+x₂）+cos（x₁-x₂）＜1+cos（x₁+x₂），
由此得tanx₁+tanx₂＞=

2sin(x1+x2)

1+cos(x1+x2)

，∴

1

2

（tanx₁+tanx₂）＞tg

x1+x2

2

，
即

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＞f（

x1+x2

2

）．