利用Cauchy不等式和基本不等式得,
(x²+y²+1)/(x+2y)
＝[x²/1+(2y)²/4+1]/(x+2y)
≥[(x+2y)²/(1+4)+1]/(x+2y)
＝(x+2y)/5+1/(x+2y)
≥2√[(x+2y)/5·1/(x+2y)]
＝(2√5)/5.
故所求最小值为：(2√5)/5.
且最小值时,有
x:1＝y:2,和(x+2y)/5＝1/(x+2y),
解得,x＝√5/5,y＝2√5/5.柯西不等式那一步是怎么用的？柯西不等式那一步也可以这样理(1+2²)(x²+y²)≥(x+2y)²→x²+y²≥(x+2y)²/5.∴x²+y²+1≥[(x+2y)²/5]+1.∴(x²+y²+1)/(x+2y)≥[(x+2y)²/5(x+2y)]+[1/(x+2y)]＝[(x+2y)/5]+[1/(x+2y)]以下用基本不等式就水到渠成了!需要注意的是，整个过程中，应同时满足：柯西不等式取等条件：x:1＝y:2 …… ①基本不等式取等条件：(x+2y)/5＝1/(x+2y) …… ②解方程组①、②即得相应的x和y的值。