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数学
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已知命题p:在x∈[1,2]内,不等式x
2
+ax-2>0恒成立;命题q:函数
f(x)=lo
g
1
3
(
x
2
−2ax+3a)
是区间[1,+∞)上的减函数.若命题“p∨q”是真命题,求实数a的取值范围.
人气:318 ℃ 时间:2020-06-15 01:42:16
解答
∵x∈[1,2]时,不等式x
2
+ax-2>0恒成立
∴
a>
2−
x
2
x
=
2
x
−x
在x∈[1,2]上恒成立,
令
g(x)=
2
x
−x
,则g(x)在[1,2]上是减函数,
∴g(x)
max
=g(1)=1,∴a>1.即若命题p真,则a>1;
又∵函数
f(x)=lo
g
1
3
(
x
2
−2ax+3a)
是区间[1,+∞)上的减函数,
∴
u(x)=
x
2
−2ax+3a是[1,+∞)上的增函数
u(x)=
x
2
−2ax+3a>0在[1,+∞)上恒成立
∴
a≤1
u(1)>0
∴-1<a≤1.即若命题q真,则-1<a≤1.
若命题“p∨q”是真命题,则有p真q假或p假q真或p,q均为真命题,
若p真q假,则有a>1,若p假q真,则有-1<a≤1,若p,q均为真命题,不存在a;
综上可得实数a的取值范围是a>-1.
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