在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为______．
人气：196 ℃ 时间：2019-10-17 00:57:46
解答
根据题意设P的坐标为（t，-t
3+1），且0＜t＜1，
求导得：y′=-3x
2，故切线的斜率k=y′
|x=t=-3t
2，
所以切线方程为：y-（-t
3+1）=-3t
2（x-t），
令x=0，解得：y=2t
3+1；令y=0，解得：x=
，
所以△AOB的面积S=
（2t
3+1）•
=
(2t2+) 2，
设y=2t
2+
=2t
2+
+
≥3
，
当且仅当2t
2=
，即t
3=
，即t=
取等号，
把t=
代入得：S
min=
．
故答案为：
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