∵钝角三角形三边长为a+1，a+2，a+3，
∴a+3对的角为钝角，设为α，
∴cosα=

(a+1)2+(a+2)2−(a+3)2

2(a+1)(a+2)

=

a−2

2(a+1)

＜0，
解得：-1＜a＜2，
由a+1+a+2＞a+3，解得：a＞0，
则a的取值范围为0＜a＜2．
故答案为：0＜a＜2．