已知定义在R上的函数f(x)=a+(1/1+2x)是奇函数(1)求a的值(2)证明函...
已知定义在R上的函数f(x)=a+(1/1+2x)是奇函数(1)求a的值(2)证明函数f(x)在R上是减函数(3)若对任意的t∈R:不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围
人气:309 ℃ 时间:2019-11-21 09:38:14
解答
解;
(I)由定义在R上的函数f(x)是奇函数,则有f(0)=a+1/(1+2^0)=0,得到a=-1/2
(II)f(x)=-1/2+1/(1+2^x)
设x1>x2
f(x1)-f(x2)=1/(1+2^x1)-1/(1+2^x2)=(2^x2-2^x1)/[(1+2^x1)(1+2^x2)]
由于x1>x2,则有2^x1>2^x2,1+2^x1>0,1+2^x2>0
故有f(x1)-f(x2)<0
即有f(x1)所以,函数f(x)在R上是减函数.
(III)由(Ⅰ)知f(x)= -1/2+1/(2^x+1) ,由(II)知f(x) 在 正负无穷上为减函数.
又因 f(x)是奇函数,从而不等式:f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0 等价于f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2) ,
因f(x) 为减函数,由上式推得:t^2-2t>k-2t^2 .
即对一切t∈R 有:3t^2-2t-k>0 ,
从而判别式=4+12k<0 ==>k<-1/3
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