令t=a+b，则0＜t＜10，

a+b

t

=1，
∵a＞0，b＞0，a+b+

4

a

+

1

b

=10，
∴t+（

4

a

+

1

b

）（

a+b

t

）=10，
∴（10-t）t=（

4

a

+

1

b

）（a+b）=4+

4b

a

+

a

b

+1≥9（当且仅当a=2b=6时取“=”），
∴t²-10t+9≤0，
∴1≤t≤9．
故答案为：9．