已知二次函数f﹙x﹚满足f﹙x+1﹚+f﹙x-1﹚=2x²-4x,①求函数f﹙x﹚的解析式
②若f﹙x﹚>a在x∈[﹣1,2﹚上恒成立,求实数a的取值范围
③求当x∈[0,a]﹙a>0﹚时f﹙x﹚的最大值g﹙a﹚
人气:339 ℃ 时间:2019-08-19 09:36:52
解答
设f(x)=ax²+bx+c,则
f﹙x+1﹚+f﹙x-1﹚
=a(x+1)²+b(x+1)+c+a(x-1)²+b(x-1)+c
=2ax²+2bx+2(a+c)
=2x²-4x
故,a=1;b= -2;c= -1;
即:f﹙x﹚=x²-2x-1第②,③题呢?②f﹙x﹚>a,在x∈[-1,2﹚上恒成立,注意到:f﹙x﹚=x²-2x-1=(x-1)²-2对称轴为:x=1,开口向上,在x=1处取得最小值-2;在[-1,2﹚上,f﹙x﹚在x=-1处取得最大值2;因此,要使f﹙x﹚>a,在x∈[-1,2﹚上恒成立,充要条件为:a<-2;③求当x∈[0,a]﹙a>0﹚时f﹙x﹚的最大值g﹙a﹚由于f﹙x﹚开口向上,对称轴为:x=1,在x∈(-∞,1】上单调递减;在x∈【1,﹢∞)上单调递增;因此,当a≤1时,f﹙x﹚的最大值为f﹙0﹚=-1;当a>1时,f﹙x﹚的最大值为f﹙a﹚=a²-2a-1;即:g﹙a﹚=-1,当a∈(0,1】时g﹙a﹚=a²-2a-1,当a∈(1,﹢∞)时。
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