设直线l:y=k(x+1)与椭圆x的平方+3y的平方=a²(a>0)相交于A.B两个不同的点,与x轴
设直线l:y=k(x+1)与椭圆x的平方+3y的平方=a²(a>0)相交于A.B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点,
(1)证明:a的平方>(3*k的平方)/(1+3*k的平方)
(2)若向量AC=向量2CB,求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程
人气:498 ℃ 时间:2020-05-25 11:41:11
解答
C(-1,0).
把y=k(x+1)代入x^2+3y^2=a^2得
x^2+3k^2(x^2+2x+1)=a^2,
(1+3k^2)x^2+6k^2x+3k^2-a^2=0,①
直线与椭圆交于两点,
∴△/4=9k^4-(1+3k^2)(3k^2-a^2)
=-3k^2+a^2+3a^2k^2>0,
a^2(1+3k^2)>3k^2,
a^2>3k^2/(1+3k^2).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由向量AC=向量2CB得
-1-x1=2(x2+1),
x1+2x2=-3,
由①,x1,2=[-3k^2土√(a^2+3a^2k^2-3k^2)]/(1+3k^2),
∴[-9k^2-√(a^2+3a^2k^2-3k^2)]/(1+3k^2)=-3,
∴√(a^2+3a^2k^2-3k^2)=3,
∴a^2=(9+3k^2)/(1+3k^2),②
|AB|=√△/(1+3k^2)*√(1+k^2),
O到AB的距离d=|k|/√(1+k^2),
∴S△OAB=|k|√(a^2+3a^2k^2-3k^2)/(1+3k^2)=3/(1/|k|+3|k|),
k^2=1/3时面积取最大值√3/2,由②,a^2=5,椭圆方程为x^2+3y^2=5.
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