设f(x)的定义域关于原点对称,且满足 1.f(x1-x2)=[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)] 2.存在正_数学解答

设f(x)的定义域关于原点对称,且满足 1.f(x1-x2)=[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)] 2.存在正常数a,使f(a)=1.求证:(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数,且有一个周期为四4a.

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解答

1) f(x1-x2)=[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)] 设x=x1-x2 f(-x)=f(x2-x1)=[f(x2)f(x1)+1]/[f(x1)-f(x2)] =-[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)]=-f(x1-x2)=-f(x) ∴f(x)是奇函数 (2) f(a)=1,f(-a)=-1 f(x-a)=[f(x)+1]/[1-f(x)] f(x+a)=[-f(x)+1]/[-1-f(x)]=[f(x)-1]/[1+f(x)]=-1/f(x-a) f(x+2a)=f(x+a+a)=-1/f(x+a-a)=-1/f(x) f(x-a)=-1/f(x+a) f(x-2a)=f(x-a-a)=-1/f(x-a+a)=-1/f(x) ∴f(x+2a)=f(x-2a) ∴f(x)是周期函数,4a是一个周期