go on doing sth.指的是继续做某事（刚刚在做的事继续做）
go on to do sth.指的是继续做其它的事（不是刚刚在做的事）
句子的意思是,读完信,他开始写回信.如果用writing意思就是他刚刚就在写信,现在继续写.