g（x）=

x2+x+1

x

=x+

1

x

+1≥3，当且仅当x=1时，等号成立，
∴函数f（x）=x²+bx+c的顶点坐标为（1，3），
∴

x＝− b 2 ＝1 1+b+c＝3

，求得b=-2，c=4，
∴f（x）=x²-2x+4，
∴f（x）_max=f（2）=4，
故选B．