已知直线Y=2X+a交圆X^2+y^2=1与两点M（X1,Y1),N(X2,Y2),且X轴正半轴沿逆时针转到两射线OM,ON（O为_数学解答

已知直线Y=2X+a交圆X^2+y^2=1与两点M（X1,Y1),N(X2,Y2),且X轴正半轴沿逆时针转到两射线OM,ON（O为原点）的最小正角依次为W,E
求证COS(W+E)=X1X2-Y1Y2, Y1Y2=4X1X2+2a(X1+X2)+a^2
求COS(W+E)值

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解答

由题意可知,x1=COSW,y1=sinW,x2=COSE,y2=sinE.所以COS(W+E)=X1X2-Y1Y2.又x^2+(2x+a)^2=1,即5x^2+4ax+a^2-1=0,x1+x2=-4a/5,x1*x2=(a^2-1)/5,y1*y2=(2x1+a)*(2x2+a)=4*x1*x2+2a(x1+x2)+a^2=4(a^2-1)/5+2a(x1+x2)+a^2.COS(W+E)=X1X2-Y1Y2=-3x1*x2-2a(x1+x2)-a^2=-3(a^2-1)/5+4a^2-a^2=(7a^2)/5+3/5.