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数学
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函数f(a)=(3m-1)a+b-2m,当m∈[0,1]时,0≤f(a)≤1恒成立,则
9
a
2
+
b
2
ab
的最大值与最小值之和为( )
A. 18
B. 16
C. 14
D.
49
4
人气:121 ℃ 时间:2019-12-14 13:11:20
解答
令g(m)=(3a-2)m+b-a. 由题意当m∈[0,1]时,0≤f(a)≤1可得,
0≤g(0)≤1
0≤g(1)≤1
,
∴0≤b-a≤1,0≤2a+b-2≤1. 即 a≤b≤1+a ①,2≤2a+b≤3 ②.
把(a,b)看作点画出可行域,由斜率模型可得 1≤
b
a
≤4.
又
9
a
2
+
b
2
ab
=
b
a
+
9a
b
,令
b
a
=x
,则 1≤x≤4,∵y=
9
x
+x 在[1,3]上单调递减,在[3,4]上单调递增,
∴x=3时,y有最小值为 6,而 x=1时,y=10;x=4时,y=6.25.
故当 x=1时,y 有最大值是10. 故最大值与最小值的和为16.
故选:B.
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