如何证明微分的几何意义?如何能证明“当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)”?微分-几何意义几何意义 _数学解答

如何证明微分的几何意义?如何能证明“当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)”?
微分-几何意义
几何意义
设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量.当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.
---问题是,如何能证明“当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)”?

人气：437 ℃　时间：2020-03-24 09:21:11

解答

这个结论的前提是f′(x)≠0,
Δy=dy+0(Δx) dy=f′(x)Δx
|Δy－dy|/|Δy|=|Δy/dy－1| =|(Δy/Δx)×1/f′-1| 当Δx趋于0时,Δy/Δx)趋于f′,所以
Δy－dy|/|Δy|趋于0Δy=dy+0(Δx) dy---公式里“0(Δx) dy”作何解释？"Δy=dy+0(Δx) dy"你写的不对，仔细看书，应该是 “Δy=dy+0(dy)”意思就是 |Δy－dy|/|dy|当Δx趋于0时的极限是0证明： |Δy－dy|/|dy|=|=|Δy/dy－1| =|(Δy/Δx)×1/f′-1|当Δx趋于0时，Δy/Δx)趋于f′(Δy/Δx)×1/f′趋于1，所以 |Δy－dy|/|dy|趋于0