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设y1,y2是二阶非齐次线性微分方程的两个特解.证明:y1与y2之比不可能是常数
人气:184 ℃ 时间:2020-06-16 06:40:42
解答
证:反证法!
要证y1,y2之比不为常数,即证明y1,y2线性无关!
假设y1,y2线性相关,设y2=ky1,
因为y1,y2是二阶非齐次线性方程的特解,故它们都不是常数0,且因为y1≠y2,所以k≠0,1.
这样,一方面有
y1''+py2'+qy2=f(x),
另一方面又有
y2''+py2'+qy2=ky1''+pky1=k(y1''+py1'+qy1)=kf(x).
于是有f(x)=kf(x)(k≠0,1),即f(x)≡0,
这与非齐次方程相矛盾,所以假设错误!
因此,
y1,y2线性无关,即y1,y2之比不可能为常数!
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