已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的中垂线恒过定点Q(6,0),求此抛物线的方程.
人气:440 ℃ 时间:2019-08-20 22:18:16
解答
由抛物线的定义可得:
|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=8∴x
1+x
2=8-p.
∵点Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,
∴|QA|=|QB|即:(x
1-6)
2+y
12=(x
2-6)
2+y
22,
又∵y
12=2px
1,y
22=2px
2,
∴(x
1-6)
2+2px
1=(x
2-6)
2+2px
2,
整理得:(x
1-x
2)(x
1+x
2-12+2p)=0.
∵x
1≠x
2∴x
1+x
2-12+2p=0即:x
1+x
2=12-2p=8-p
解得:p=4,
∴抛物线的方程为y
2=8x.
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