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数学
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已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且|AF|+|BF|=8，线段AB的中垂线恒过定点Q（6，0），求此抛物线的方程．
人气：225 ℃ 时间：2019-08-20 22:18:16
解答
由抛物线的定义可得：
|AF|+|BF|＝
x
1
+
p
2
+
x
2
+
p
2
＝
x
1
+
x
2
+p＝8
∴x
1
+x
2
=8-p．
∵点Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上，
∴|QA|=|QB|即：（x
1
-6）
2
+y
1
2
=（x
2
-6）
2
+y
2
2
，
又∵y
1
2
=2px
1
，y
2
2
=2px
2
，
∴（x
1
-6）
2
+2px
1
=（x
2
-6）
2
+2px
2
，
整理得：（x
1
-x
2
）（x
1
+x
2
-12+2p）=0．
∵x
1
≠x
2
∴x
1
+x
2
-12+2p=0即：x
1
+x
2
=12-2p=8-p
解得：p=4，
∴抛物线的方程为y
2
=8x．
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