∵图象的对称轴在y轴的右侧，
∴对称轴x=k+1＞0，
解得k＞-1，
∵二次函数y=x²-2（k+1）x+k+3有最小值-4，
∴y_最小值=

4(k+3)−(2k+2)2

4

=k+3-（k+1）²=-k²-k+2=-4，
整理得k²+k-6=0，
解得k=2或k=-3，
∵k=-3＜-1，不合题意舍去，
∴k=2．