（1）y=x²+2x+m=（x+1）²+m-1，对称轴为直线x=-1，
∵与x轴有且只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为0，
∴C₁的顶点坐标为（-1，0）；
（2）设C₂的函数关系式为y=（x+1）²+k，
把A（-3，0）代入上式得（-3+1）²+k=0，得k=-4，
∴C₂的函数关系式为y=（x+1）²-4．
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），
由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；
（3）当x≥-1时，y随x的增大而增大，
当n≥-1时，
∵y₁＞y₂，
∴n＞2．
当n＜-1时，P（n，y₁）的对称点坐标为（-2-n，y₁），且-2-n＞-1，
∵y₁＞y₂，
∴-2-n＞2，
∴n＜-4．
综上所述：n＞2或n＜-4．