已知F1,F2是椭圆的左右焦点,椭圆的离心率是根号3-1,以椭圆的右焦点F2为圆心做一个圆,使次圆过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,_数学解答

已知F1,F2是椭圆的左右焦点,椭圆的离心率是根号3-1,以椭圆的右焦点F2为圆心做一个圆,使次圆过椭圆中心
并且交椭圆于点M,N,则∠F1MF2=?

人气：191 ℃　时间：2020-06-15 12:28:22

解答

因为 |MF2|=r=c ,
所以由椭圆定义得 |MF1|=2a-|MF2|=2a-c ,
余弦定理得 cos∠F1MF2=(|MF1|^2+|MF2|^2-|F1F2|^2) / (2|MF1|*|MF2|)
=[(2a-c)^2+c^2-(2c)^2] / [2(2a-c)c]
=(4a^2-4ac-2c^2)/(4ac-2c^2)
=(4-4e-2e^2)/(4e-2e^2) （分子分母同除以 a^2 ,并且 e=c/a）
=[4-4(√3-1)-2(√3-1)^2] / [4(√3-1)-2(√3-1)^2]
=0 ,
所以 ∠F1MF2=90° .