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数学
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已知椭圆的中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4(
2
-1),求椭圆方程.
人气:291 ℃ 时间:2019-08-21 20:09:06
解答
∵椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,
∴设椭圆的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),
设短轴的两个端点分别为A、B,左右焦点分别为F
1
、F
2
,连结AF
2
、BF
2
.
∵一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,
∴AF
2
⊥BF
2
,
根据椭圆的对称性得到△ABF
2
是等腰直角三角形,可得|OA|=|0F
2
|.
∴b=c,即
a
2
−
c
2
=c…①,
又∵焦点和x轴上的较近端点的距离为4(
2
-1),
∴a-c=4(
2
-1)…②,
联解①②可得a=4
2
,c=4,可得a
2
=32,b
2
=c
2
=16
所求椭圆的方程为
x
2
32
+
y
2
16
=1
.
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