∵有理数a等于它的倒数，
∴a=±1，
∵有理数b等于它的相反数，
∴b=0，
当a=1、b=0时，a²⁰⁰⁹+b²⁰⁰⁹=1²⁰⁰⁹+0²⁰⁰⁹=1，
当a=-1、b=0时，a²⁰⁰⁹+b²⁰⁰⁹=（-1）²⁰⁰⁹+0²⁰⁰⁹=-1，
综上所述，a²⁰⁰⁹+b²⁰⁰⁹等于±1．
故选C．