已知函数f（x）=ln(1+x)x．（Ⅰ）证明：若x≥1，则 f（x）≤ln2；（Ⅱ）如果对于任意x＞0，f（x）＞1+_数学解答

已知函数f（x）=

ln(1+x)

．
（Ⅰ）证明：若x≥1，则 f（x）≤ln2；
（Ⅱ）如果对于任意x＞0，f（x）＞1+px恒成立，求p的最大值．

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解答

（Ⅰ）函数f(x)＝ln(1+x)x的导函数为f/(x)＝x1+x−ln(1+x)x2，在[0，+∞）上考虑函数g(x)＝x1+x−ln(1+x)，由g/(x)＝1(1+x)2−11+x≤0，可知g（x）单调递减，结合g（0）=0，当x＞0时，g（x）＜0，所以，f′（x）＜0...