你是需要f不R可积 还是不L可积
|f(x)| 在[0,1]上可积,但f(x)在[0,1]上R不可积
高数里的函数就更加简单了
在[0,1]上定义：f（x）=1,x是有理数；f（x）=-1,x是无理数
那么可以得到 |f(x)| 在[0,1]上可积,但f(x)在[0,1]上不可积
注意：f如果R可积,那么f的不连续点一定是有限个.
ps：
|f(x)| 在[0,1]上可积,但f(x)在[0,1]上L不可积（对R不可积的情况也适用）举一个例子吧
在[0,1]上,满足x-y是有理数的数我们放在同一个盒子里作为一个等价类
然后每个盒子里取出一个元素构成一个新的集合A
定义f（x）=1 x属于A； f（x）=-1,x不属于A
那么可以得到 |f(x)| 在[0,1]上可积,但f(x)在[0,1]上不可积
这个结论你要证明你只需要知道集合A是不可测的,再利用可积的定义就得到了f不可积